Szalay Péter egyetemi tanulmányait az ELTE Állam- és Jogtudományi Karán 1984-ben végezte summa cum laude minősítéssel. Jogi szakvizsgát 1989. március 9. napján tett.
1984-1987 között az ELTE ÁJK Államjogi (ma Alkotmányjogi) Tanszékén oktatott, az MTA-TMB tudományos ösztöndíjas gyakornoka volt. 1987-1988-ban az Igazságügyi Minisztérium Törvényelőkészítő Főosztályán előadó, 1988-1990-ben Pozsgay Imre államminiszter Titkárságán kormánytanácsos, majd kormányfőtanácsos volt. 1990-1992-ben a Miniszterelnöki Hivatalban, közelebbről a Miniszterelnöki Kabinetben a parlamenti ügyekért felelős kormányfőtanácsosként, 1993-1998-ig a Pénzintézeti Központ (később Pénzintézeti Központ Rt., Pénzintézeti Központ Bank Rt.) jogi igazgatójaként dolgozott. 1998-tól a Jutasi és Társai Ügyvédi Iroda tagja, ügyvéd.
2011. és 2023. között volt az Alkotmánybíróság tagja. Az Alkotmánybíróság jelenlegi és volt tagjai, munkatársai Szalay Péter személyében gyászolják a polgári jog, azon belül is a személyiségi jogok és a sajtójog kiváló ismerőjét, a kedves, jó humorú munkatársat, az Alkotmánybíróság volt tagját. Szalay Pétert az Alkotmánybíróság saját halottjának tekinti – zárul a szervezet közleménye.